TP thématique dans le cadre du projet de plate-forme informatique d’étude des automates cellulaires

 

 

Ce projet concerne la réalisation d’une plate-forme d’étude des automates cellulaires. Ce type de système dynamique (pour plus de précisions veuillez vous référer au rapport d’avancement et à notre rapport de Juin 1999), a jusqu’à présent principalement été utilisé en modélisation. C’est pourquoi, parallèlement à notre étude de propriétés mathématiques plus générales, nous sommes intéressés par les possibilités et les limites de simulations à base d’automates cellulaires.

 

Les automates cellulaires sont des systèmes dynamiques déterministes dont la règle d’évolution est indépendante de la position et du temps (cf. documents précités), de même que les lois de la physique classique. Le fait qu’ils soient discrets les rendant particulièrement bien adaptés au traitement informatique, on peut donc espérer déterminer des règles qui soient des « équivalents » discrets des équations différentielles qui régissent bon nombre de phénomènes physiques.

On peut cependant craindre que de tels modèles perdent en rapidité ce qu’ils pourraient gagner en précision.

 

Nous avons décidé de nous intéresser à un type de phénomène assez répandu : les phénomènes de diffusion. C’est à dire ceux régis par des équations du type :

 

 

Nous avons donc réfléchi à des modèles assez simples (cf. Partie I du présent compte-rendu) que nous souhaiterions pouvoir tester par l’expérience. Pour cela nous pensons que la diffusion thermique est assez adaptée car les moyens de mesure de la température sont certainement plus faciles à mettre en œuvre que pour d’autres types de diffusion.

Dans la Partie II de ce compte-rendu, nous décrivons quel pourrait être « l’intérêt » d’une telle modélisation (cas où la résolution des équations différentielles est délicate ou impossible). Nous nous interrogeons également sur les types de mesures que nous serons amener à pratiquer.

 

Pour cela, nous souhaiterions savoir quels instruments sont disponibles à l’Ecole et dans quelle mesure nous pourrions les utiliser.

 

Partie I : Modèles

 

Nous avons pensé à deux types de modèles que nous avons (arbitrairement) nommés type 1 et 2. La différence entre les deux consiste en la façon de considérer le temps :

 

Type 1 : Le temps « réel » est confondu avec le nombre de générations (cf. Nomenclature in Rapport d’avancement) de l’automate. C’est à dire que le système étudié est découpé en un maillage régulier correspondant aux cellules dont les valeurs seraient les températures aux points correspondants ; l’équation de la diffusion discrétisée par une méthode usuelle permet de déterminer les valeurs de toutes les cellules d’une génération t à partir de celles de la génération t-1.

 

Type 2 : Dans ce cas on distingue le temps et le nombre de génération. L’espace cellulaire ne correspond donc plus à l’espace mais à l’espace-temps : le temps est donc une coordonnée supplémentaire repérant une cellule donnée. Il devient donc possible de modifier des valeurs de façon à ce qu’elles soient cohérentes avec le passé comme avec le futur (relativement à la cellule correspondante).

 

De façon à illustrer ces deux types de modèle nous allons les détailler dans le cas simple d’une barre métallique cylindrique isolée sur son pourtour et dont la température est imposée à ses extrémités :

 

 

 

 

 

 

 

 

Modèle de type 1

 

L’équation différentielle discrétisée donne

 

      (*)

 

            où t et d correspondent aux pas de discrétisation dans le temps et l’espace.

 

On en tire la règle donnant T(x, t+t) en fonction de l’état des cellules du voisinage au temps t. Il est bien sûr préférable de travailler avec des grandeurs adimensionnées.

Modèle de type 2

 

Le modèle de type 2 ne correspond plus au calcul de la répartition spatiale des températures à un instant en fonction de celle de l’instant précédent, mais à la correction à chaque génération de la répartition spatio-temporelle de manière qu’elle soit cohérente avec les lois de la physique.

Il est pensable de partir des mêmes équations différentielles, et de changer à chaque génération la valeur de T(x,t) de sorte que l’équation (*) soit satisfaite, c’est à dire que chaque cellule sera rendue cohérente avec son voisinage.

Cette solution présente le désavantage de ne pas être symétrique dans le temps (on tient compte de (x,t+t) et pas de (x,t-t) ). Nous pensons préférable d’approximer

 par

Problèmes éventuels

 

• Le modèle de type 1 ne respecte pas l’instantanéité de la loi de Fourier. D’autres modélisations en thermique par des automates cellulaires ont montré que ce problème n’était pas insurmontable.

 

• Le modèle de type 2 présente des difficultés pour la définition de la génération initiale. Celle-ci doit comporter l’état de cellules à tout instant et à toute localisation. Ces états seront changés à chaque génération pour être en accord avec les lois de la diffusion et peuvent donc être arbitraires dans un certain domaine. Mais les valeurs des cellules aux limites pour la génération initiale doivent être prise avec rigueur puisqu’elles déterminent l’état vers lequel l’automate convergeraient. Les valeurs aux limites spatiales sont souvent connues et ne posent pas véritablement problème, de même que les valeurs à t=0. Par contre, il faut également prendre des valeurs pour le temps final. La solution que nous retenons est de prendre un temps suffisament grand pour que le régime permanent soit établi, et de considérer que la répartition spatiale de température est identique pour t_max et t_max +t.

 

 

Partie II : Le TP

 

Nous souhaitons réaliser des expériences en laboratoire affin de pouvoir valider notre modélisation par automates cellulaires. L’emploi de ceux-ci est en effet pertinent lorsque la résolution des équations aux dérivées partielles est délicate, et donc lorsque l’unique vérification réside dans l’expérience physique.

Nous avons pensé à plusieurs cas où la modélisation par automates cellulaires paraît utile (par exemple : diffusion dans des plaques de formes complexes ou avec a non homogène).

 

Notre objectif serait de commencer sur des plaques de formes simples pour vérifier l’adéquation entre résultats expérimentaux, résultats obtenus par résolution des équations différentielles et par automates cellulaires. Ensuite, nous souhaiterions réaliser des mesures de température sur des objets plus complexes.

Il nous sera nécessaire d’élaborer un dispositif expérimental correspondant à nos besoins ainsi que d’effectuer plusieurs séries de mesure pour chaque cas affin de disposer de données expérimentales fiables.